12348. Данная точка A
лежит на окружности данного радиуса R
. Из произвольной точки B
, лежащей на окружности, опущен перпендикуляр BC
на касательную к окружности в точке A
. Найдите наибольшую площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3R^{2}\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Ясно, что точка C
отлична от A
. Проведём хорду BD
, параллельную AC
. Тогда треугольник ABD
равнобедренный с основанием BD
, а его площадь вдвое больше площади треугольника ABC
.
Обозначим \angle ABD=\angle ADB=\alpha
. По теореме синусов
AB=AD=2R\sin\alpha,
поэтому
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin(180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}\cdot4R^{2}\sin^{2}\alpha\cdot\sin2\alpha=
=4R^{2}\sin^{3}\alpha\cos\alpha.
Найдём наибольшее значение функции S(\alpha)=4R^{2}\sin^{3}\alpha\cos\alpha
на промежутке (0;90^{\circ})
.
S'(\alpha)=4R^{2}(3\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha-\sin^{4}\alpha)=4R^{2}\sin^{2}\alpha(3\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=
=4R^{2}\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha(3-\tg^{2}\alpha).
На рассматриваемом промежутке уравнение S'(x)
имеет единственный корень \alpha=60^{\circ}
, причём на промежутке (0;60^{\circ})
функция S(x)
возрастает (так как S'(\alpha)\gt0
), а на на промежутке (60^{\circ};90^{\circ})
— убывает (так как S'(\alpha)\lt0
). Следовательно, при \alpha=60^{\circ}
функция S(\alpha)
достигает наибольшего значения на рассматриваемом промежутке, а так как при этом треугольник ABD
равносторонний, то
AB=2R\sin60^{\circ}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3},
а его площадь равна
S(60^{\circ})=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, наибольшая площадь треугольника ABC
равна \frac{3R^{2}\sqrt{3}}{8}
.