12350. Три равных чевианы треугольника ABC
делят его стороны в одном и том же отношении, т. е. AN:NB=BL:LC=CM:MA
. Верно ли, что треугольник ABC
равносторонний?
Ответ. Верно.
Решение. Обозначим
AL=BM=CN=l,~\frac{AN}{NB}=\frac{BL}{LC}=\frac{CM}{MA}=k,
где \ne0
и k\ne-1
, а все указанные отрезки считаются направленными. Тогда
\frac{BC}{CL}=-\frac{k+1}{1}=-(k+1),~\frac{LY}{YA}=\frac{l-AY}{AY}.
По теореме Менелая для треугольника ABL
и прямой CN
получаем
-1=\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BC}{CL}\cdot\frac{LY}{AY}=k\cdot(-(k+1))\cdot\frac{l-AY}{AY}=-\frac{k(k+1)(1-AY)}{AY},
откуда находим, что
AY=\frac{lk(k+1)}{k^{2}+k+1}.
Аналогично,
BZ=\frac{lk(k+1)}{k^{2}+k+1},~CX=\frac{lk(k+1)}{k^{2}+k+1}.
Значит,
AZ=BX=CY.
Поскольку
\frac{CM}{MA}=k,~\frac{LB}{BC}=-\frac{k}{k+1},~\frac{AZ}{ZL}=\frac{AZ}{l-AZ},
то, по теореме Менелая для треугольника ALC
и прямой BM
получаем
-1=\frac{AZ}{ZL}\cdot\frac{LB}{BC}\cdot\frac{CM}{MA}=\frac{AZ}{l-AZ}\cdot\left(-\frac{k}{k+1}\right)\cdot k=-\frac{k(k+1)AZ}{1-AZ},
откуда находим, что
AZ=\frac{l(k+1)}{k^{2}+k+1}.
Аналогично,
BX=\frac{l(k+1)}{k^{2}+k+1},~CY=\frac{l(k+1)}{k^{2}+k+1}.
Значит,
AZ=BX=CY.
Таким образом,
YZ=ZX=XY,
т. е. треугольник XYZ
равносторонний, а так как треугольники BCX
, CAY
и ABZ
равны двум сторонам и углу между ними, то
BC=CA=AB.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 5, задача 548, с. 158