12354. Окружность радиуса R_{1}=3
вписана в прямоугольный треугольник ABC
с углом \angle B=90^{\circ}
. Вторая окружность радиуса R_{2}=1
касается первой окружности и отрезков AC
и AB
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. 3+3\sqrt{3}
, 9+3\sqrt{3}
, 6+6\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов R_{1}
и R_{2}
соответственно, M
и N
— точки их касания с катетом AB
, K
— точка касания большей окружности с катетом BC
. Тогда MN=2\sqrt{3\cdot1}=2\sqrt{3}
(см. задачу 365), а так как линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, то O_{1}O_{2}=3+1=4
. Поскольку BKO_{2}M
— квадрат, BM=KO_{2}=3
.
Опустим перпендикуляр O_{2}F
на радиус O_{1}M
большей окружности. Тогда
O_{1}F=O_{1}M-FM=O_{1}M-O_{1}N=3-1=2,
\angle NAO_{2}=\sin\angle FO_{1}O_{1}=\frac{O_{1}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
а так как угол NAO_{2}
острый, то
\angle NAO_{2}=30^{\circ},~AN=\tg\angle NAO_{2}=1\cdot\ctg30^{\circ}=\sqrt{3},
а так как луч AO_{2}
— биссектриса угла BAC
, то \angle BAC=60^{\circ}
. Следовательно,
AB=BM+MN+AN=3+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3+3\sqrt{3},
BC=AB\tg60^{\circ}=(3+3\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=9+3\sqrt{3},
AC=2AB=6+6\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, отборочный этап, задача 7, типовой вариант, 11 класс