12355. Точка D
лежит на окружности радиуса 3, описанной около равнобедренного треугольника ABC
. Высота этого треугольника, проведённая к основанию AC
равна 1,5. Найдите площадь треугольника DBC
, если DB=2\sqrt{3}
.
Ответ. \frac{3}{2}(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})
.
Решение. Пусть CH=\frac{3}{2}
— высота равнобедренного треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности. Тогда H
— середина радиуса OB
, а CH
— высота и медиана треугольника BOC
. Значит, BC=OC=OB
, т. е. треугольник BOC
равносторонний, поэтому \angle BOC=60^{\circ}
.
Поскольку BDC
— вписанный угол, соответствующий центральному углу BOC
, то
\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BOC=30^{\circ}.
Обозначим CD=x
. По теореме косинусов
BC^{2}=CD^{2}+BD^{2}-2CD\cdot BD\cos30^{\circ},
или
9=x^{2}+12-2\cdot x\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},~~x^{2}-6x+3=0,
откуда CD=x=3\pm\sqrt{6}
. Оба решения удовлетворяют условию задачи. Следовательно,
S_{\triangle DBC}=\frac{1}{2}BD\cdot CD\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot(3\pm\sqrt{6})\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}).
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, отборочный этап, задача 7, вариант 1, 11 класс