12359. Окружность с центром O_{1}
радиуса 2 вписана в треугольник ABC
. Вторая окружность с центром O_{2}
радиуса 4 касается продолжения сторон AB
и AC
, а также стороны BC
. Найдите площадь треугольника O_{1}BO_{2}
, если угол ACB
равен 120^{\circ}
.
Ответ. \frac{26}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть первая и вторая окружности касаются стороны BC
в точках D
и E
соответственно. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, значит, BO_{1}
— биссектриса угла ABC
, а BO_{2}
— биссектриса смежного с ним угла. Следовательно, \angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}
. Аналогично, \angle O_{1}CO_{2}=90^{\circ}
.
Радиусы O_{1}D
и O_{2}E
перпендикулярны стороне BC
. Из прямоугольных треугольников CDO_{1}
и CEO_{1}
находим, что
CD=O_{1}D\ctg\angle DCO_{1}=2\cdot\ctg60^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
CE=O_{2}E\ctg\angle ECO_{1}=4\cdot\ctg30^{\circ}=4\sqrt{3}.
Значит,
DE=CE-CD=4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.
Опустим перпендикуляр O_{1}F
на продолжение радиуса O_{2}E
. В прямоугольном треугольнике O_{1}FO_{2}
известны катеты
O_{1}F=DE=\frac{10\sqrt{3}}{3},~O_{2}F=O_{2}E+FE=O_{2}E+O_{1}D=4+2=6,
значит,
O_{1}O_{2}=\sqrt{O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2}}=\sqrt{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+6^{2}}=\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{3}}.
Из точек B
и C
отрезок O_{1}O_{1}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром O_{1}O_{2}
. Вписанные в эту окружность углы BO_{1}O_{2}
и BCO_{2}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BO_{1}O_{2}=\angle BCO_{2}=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.
Тогда
BO_{1}=O_{1}O_{2}\cos30^{\circ}=\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{13},
BO_{2}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{\triangle O_{1}BO_{2}}=\frac{1}{2}BO_{1}\cdot BO_{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{13}\cdot\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{26}{\sqrt{3}}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018-2019, заключительный этап, задача 6, вариант 2, 10 класс