12363. Окружности радиусов r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
(r_{1}\lt r_{2}\lt r_{3}\lt r_{4}
) вписаны в угол. Каждая следующая окружность касается предыдущей. Найдите \frac{l_{2}+l_{3}}{\pi}
, где l_{2}+l_{3}
— сумма длин второй и третьей окружностей, если радиус первой окружности равен 1, а площадь круга ограниченного четвёртой окружностью с радиусом r_{4}
, равна 64\pi
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть касающиеся окружности с центрами O
и Q
радиусов a
и b
соответственно (a\lt b
) вписаны в угол с вершиной P
, равный \alpha
, и касаются стороны угла в точках A
и B
соответственно. Опустим перпендикуляр OH
на радиус QB
второй окружности. Точки O
и Q
лежат на биссектрисе данного угла, поэтому
\angle QOH=\angle OAP=\frac{\alpha}{2},
значит,
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{b-a}{b+a}=\frac{QH}{OQ}=\frac{OA}{OP}.
Применив это равенство к нашей задаче, получим
\frac{r_{3}-r_{2}}{r_{3}+r_{2}}=\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{2}+r_{1}},~\frac{r_{4}-r_{3}}{r_{4}+r_{3}}=\frac{r_{3}-r_{2}}{r_{3}+r_{2}}.
После очевидных упрощений получим, что
r_{2}^{2}=r_{1}r_{3},~r_{3}^{2}=r_{2}r_{4},~\mbox{или}~\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{r_{3}}{r_{2}},~\frac{r_{3}}{r_{2}}=\frac{r_{4}}{r_{3}}.
Тогда
\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{r_{3}}{r_{2}}=\frac{r_{4}}{r_{3}}.
Это означает, что числа r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=\frac{r_{2}}{r_{1}}
. При этом r_{1}=1
и r_{4}=\sqrt{\frac{64\pi}{\pi}}=8
, а так как r_{4}=r_{1}\cdot q^{3}
, или 8=q^{3}
, то q=2
. Тогда
r_{2}=r_{1}q=2,~r_{3}=r_{1}q^{2}=4.
Следовательно,
\frac{l_{2}+l_{3}}{\pi}=\frac{2\pi r_{2}+2\pi r_{3}}{\pi}=2(r_{2}+r_{3})=2(2+4)=12.