12364. В равностороннем треугольнике ABC
сторона равна 6. Точка K
лежит на отрезке AB
и AK:KB=2:1
. На продолжении стороны AC
за точку A
взята точка M
, для которой KM=KC
. Найдите AM
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. На стороне AB
отметим точку P
, для которой AP=AK=4
. Тогда PC=2
, а так как в равнобедренном треугольнике APK
угол KAP=60^{\circ}
, то этот треугольник равносторонний. Значит, KP=4
.
Обозначим \angle KCP=\alpha
. В равнобедренном треугольнике CKM
углы при основании CM
равны,
\angle AMK=\angle CMK=\angle KCM=\angle KCP=\alpha,
поэтому
\angle CKP=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha,
а так как CAK
— внешний угол треугольника AKM
, то
\angle AKM=\angle CAK-\angle AMK=60^{\circ}-\alpha.
Значит, \angle CKP=\angle MKA
, и треугольники KCP
и KMA
равны по стороне (CK=MK
) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AM=PC=2
.
Второй способ. Обозначим AM=x
. Применяя теорему косинусов к треугольникам ACK
и AKM
, получим
CK^{2}=AC^{2}+AK^{2}-2AC\cdot AK\cos60^{\circ}=36+16-24=28,~
28=CK^{2}=MK^{2}=AM^{2}+AK^{2}-2AM\cdot AK\cos120^{\circ}=x^{2}+16+4x,
или
x^{2}+4x-12=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения x=2
. Следовательно, AM=x=2
.