12367. Точки E
и K
середины сторон соответственно CD
и AD
квадрата ABCD
. Прямая BE
пересекается с прямой CK
в точке O
. Найдите AO
, если сторона квадрата равна 1.
Ответ. 1.
Решение. Прямоугольные треугольники BCE=CDK
равны по двум катетам, значит,
\angle CBE=\angle DCK=90^{\circ}-\angle BCK,
поэтому
\angle COB=\angle BOK=90^{\circ},
т. е. прямая BE\perp CK
.
Пусть прямые CK
и AB
пересекаются в точке F
. Прямоугольные треугольники KDC
и KAF
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому AF=DC=AB=1
. Медиана OA
прямоугольного треугольника BOF
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно,
AO=AF=AB=1.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2020-2021, второй (очный) этап, задача 2, вариант 1, 9 класс