12368. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Точка G
такова, что четырёхугольник ABGH
— параллелограмм. Пусть I
— такая точка на прямой GH
, что AC
делит HI
пополам. Прямая AC
пересекает описанную окружность треугольника GCI
в точках C
и J
. Докажите, что IJ=AH
.
Решение. Достаточно доказать, что \angle IJC=\angle CAH
, так как тогда, опустив перпендикуляры II_{1}
и HH_{1}
на прямую AC
, получим равенство прямоугольных треугольников II_{1}J
и HH_{1}A
по гипотенузе и острому углу, а значит, II_{1}=HH_{1}
, откуда получим равенство прямоугольных треугольников JI_{1}I
и AH_{1}H
по катету и противолежащему острому углу. Отсюда будет следовать равенство гипотенуз IJ
и AH
.
Вписанные углы CGI
и CJI
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CGI=\angle CJI
. Поскольку BG\parallel AH
, а AH\perp BC
, то BG\perp BC
, а так как CH\perp AB
, а GH\parallel AB
, то CH\perp GH
.
Из точек B
и H
отрезок CG
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CG
. Вписанные в эту окружность углы CBH
и CGH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBH=\angle CGH=\angle CGI=\angle IJC.
С другой стороны, \angle CBH=\angle CJH
, так как каждый из этих углов в сумме с углом ACB
составляет 90^{\circ}
. Значит, \angle IJC=\angle CAH
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2020-2021, второй (очный) этап, задача 5, 10 класс