12369. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом A
проведена биссектриса BL
. На отрезке BC
выбрана точка E
, а на отрезке CL
— точка D
, причём \angle LDE=90^{\circ}
, AL=DE
. Докажите, что AB=LD+BE
.
Решение. Опустим перпендикуляр LA'
на гипотенузу BC
. Точка L
лежит на биссектрисе угла ABC
, значит, она равноудалена от сторон этого угла, т. е. LA'=LA
. Из равенства прямоугольных треугольников BLA'
и BLA
(по гипотенузе и острому углу) получаем, что BA'=AB
.
Опустим перпендикуляр A'D
на катет AC
. Тогда
A'D\lt A'L=AL=DE,
поэтому точка A'
лежит между C
и E
. Кроме того, прямоугольные треугольники LDE
и EA'L
равны по общей гипотенузе и катету (LA'=AL=DE
), значит, LD=EA'
. Следовательно,
AB=BA'=EA'+BE=LD+BE.
Что и требовалось доказать.