12371. В треугольнике ABC
с углами \angle A=35^{\circ}
, \angle B=20^{\circ}
и \angle C=125^{\circ}
отмечен центр описанной окружности — точка O
. Докажите, что точки O
, A
, B
, C
— вершины трапеции.
Решение. Поскольку угол ACB
тупой, точки O
и C
расположены по разные стороны от прямой AB
. Градусная мера дуги AB
, не содержащей точки C
, равна 2\cdot125^{\circ}=250^{\circ}
, поэтому градусная мера дуги ACB
, а значит, градусная мера центрального угла AOB
, равна 360^{\circ}-250^{\circ}=110^{\circ}
. Углы при основании AB
равнобедренного треугольника AOB
равны 35^{\circ}
, поэтому \angle ABO=\angle CAB
. Значит, AC\parallel OB
, а так как
\angle OAB=35^{\circ}\ne20^{\circ}=\angle ABC,
то прямые OA
и BC
не параллельны. Следовательно, AOBC
— трапеция.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2020-2021, второй (очный) этап, задача 3, 9 класс