12375. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбраны точки X
и Y
соответственно, причём что \angle AYB=\angle AXC=134^{\circ}
. На луче YB
за точку B
отметили точку M
, а на луче XC
за точку C
отметили точку N
. Оказалось, что MB=AC
, AB=CN
. Найдите \angle MAN
.
Ответ. 46^{\circ}
.
Решение. Заметим, что по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACN=\angle CAX+\angle AXC=\angle BAY+\angle AYB=\angle ABM.
Значит, треугольники ACN
и MBA
по двум сторонам и углу между ними.
Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle ANC=\angle BAM=\beta,~\angle CAN=\angle AMB=\gamma.
Тогда,
\angle MAN=\angle CAN+\angle BAC+\angle BAM=\gamma+\alpha+\beta=(\gamma+\alpha)+\beta=
=\angle NAX+\angle ANX=\angle BXN=180^{\circ}-\angle AXN=180^{\circ}-134^{\circ}=46^{\circ}.