12376. Про выпуклый четырёхугольник ABCD
известно, что AB=BC=CA=CD
, \angle ACD=10^{\circ}
. Вокруг треугольника BCD
описана окружность \omega
с центром O
. Прямая DA
пересекает окружность \omega
в точках D
и E
. Найдите угол EOA
, ответ выразите в градусах.
Ответ. Ответ: 65^{\circ}
.
Решение. Треугольник ADC
равнобедренный с углом 10^{\circ}
при вершине, поэтому
\angle DAC=\angle CDA=85^{\circ},
а так как треугольник ABC
равносторонний, то \angle BAC=60^{\circ}
. Значит,
\angle BAE=180^{\circ}-\angle DAC-\angle CAB=180^{\circ}-85^{\circ}-60^{\circ}=35^{\circ}.
Четырёхугольник BCDE
вписан в окружность \omega
, поэтому
\angle CBE=180^{\circ}-\angle CDE=180^{\circ}-\angle CDA=180^{\circ}-85^{\circ}=95^{\circ}.
Значит,
\angle ABE=\angle CBE-\angle ABC=95^{\circ}-60^{\circ}=35^{\circ}=\angle BAE.
Следовательно, треугольник ABE
равнобедренный, AE=BE
, а так как CD=CB
, то прямая CE
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
. Тогда луч CE
— биссектриса угла BCA
,
\angle BCE=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ},
а так как BOE
— центральный угол окружности \omega
, соответствующий вписанному углу BCE
, то
\angle BOE=2\angle BCE=60^{\circ}.
С другой стороны,
\angle COE=2\angle CDE=2\cdot85^{\circ}=170^{\circ},
откуда
\angle BOC=\angle COE-\angle BOE=170^{\circ}-60^{\circ}=110^{\circ}.
Поскольку точки A
и O
равноудалены от концов отрезка BC
, прямая AO
серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Значит, треугольник ABC
симметричен относительно прямой AO
. Тогда, если M
— середина BC
, то \angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC
. Следовательно,
\angle EOA=180^{\circ}-\angle BOE-\angle BOM=180^{\circ}-\angle BOE-\frac{1}{2}\angle BOC=
=180^{\circ}-60^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot110^{\circ}=65^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, интернет-тур, задача 3, 8-9 класс