12377. В трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) известно, что \angle A=90^{\circ}
, \angle D=75^{\circ}
. Из вершины A
опущен перпендикуляр AH
на боковую сторону CD
, причём основание H
перпендикуляра лежит на отрезке CD
. Оказалось, что DH=BC
, AH+AB=8
. Найдите площадь трапеции ABCD
.
Ответ. 8.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Прямоугольные треугольники BEC
и HDA
равны по катету и прилежащему острому углу \angle BEC=\angle HDA
), а значит, они равновелики. Тогда трапеция ABCD
равновелика треугольнику EAH
.
В треугольнике EAH
известно, что
\angle EAH=75^{\circ},~AE=AB+BE=AH+AB=8,~
AH=AE\cos75^{\circ},~HE=AE\sin75^{\circ}.
Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle EAB}=\frac{1}{2}AH\cdot HE=\frac{1}{2}AE\cos75^{\circ}\cdot AE\sin75^{\circ}=
=AE^{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot2\cos75^{\circ}\sin75^{\circ}=\frac{1}{4}AE^{2}\sin150^{\circ}=\frac{1}{8}AE^{2}=8.
Примечание. Вариант 2: AB=12
, S_{ABCD}=18
.