12378. В треугольнике ABC
на стороне AC
выбрана точка D
, а на стороне BC
точка E
, причём выполняются соотношения CD=AB
, BE=BD
, AB\cdot AC=BC^{2}
. Найдите \angle DEA
, если известно, что \angle DBC=40^{\circ}
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Из равенства AB\cdot AC=BC^{2}
следует, что \frac{BC}{BA}=\frac{AC}{BC}
. Треугольники BCD
и ACB
подобны, так как них общий угол при вершине C
и верно соотношение \frac{BC}{DC}=\frac{BC}{BA}=\frac{AC}{BC}
. Значит, \angle ABC=\angle BDC
. Тогда треугольники ABE
и CDB
равны по двум сторонам (AB=CD
и BE=DB
по условию) и углу между ними. Тогда
\angle BEA=\angle DBC=40^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника BED
находим, что
\angle BED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.
Следовательно,
\angle DEA=\angle BED-\angle BEA=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, заключительный тур, задача 4, 8 класс
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2017-2018, финальный тур, задача 4, 8 класс