12379. Среди всех треугольников с фиксированным углом \alpha
и вписанной окружностью с фиксированным радиусом r
найдите треугольник с наименьшим возможным периметром.
Ответ. Равнобедренный треугольник с углом \alpha
при вершине.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а периметр треугольника равен P
. Тогда
P=2r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right).
Поскольку
\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{\sin\frac{\beta+\gamma}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}},
периметр P
будет наименьшим при наибольшем \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
, а так как
\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\right)=
=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)\leqslant\frac{1}{2}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right),
то это наибольшее значение достигается при \beta=\gamma
, т. е. когда треугольник ABC
равнобедренный.
Следовательно, наименьший возможный периметр будет у равнобедренного треугольника с основанием
BC=\frac{r\cos\frac{\alpha}{2}}{\frac{1}{2}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2r\cos\frac{\alpha}{2}}{1-\sin\frac{\alpha}{2}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1980, № 8, задача 3, с. 242