12383. Лёша внимательно наблюдает за часами и отслеживает счастливые моменты, когда минутная и часовая стрелка образуют угол в 125^{\circ}
. Каков минимальный по продолжительности промежуток времени между двумя счастливыми моментами? Ответ выразите в минутах.
Ответ. 20.
Решение. Минутная стрелка движется со скоростью 360^{\circ}
в час, часовая — со скоростью \frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=30^{\circ}
в час, поэтому относительная скорость движения минутной стрелки относительно часовой равна 360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}
в час.
Если между двумя счастливыми моментами минутная стрелка обогнала часовую, то относительно часовой стрелки она должна преодолеть 2\cdot125^{\circ}=250^{\circ}
(сначала поравняться с часовой стрелкой, а затем обогнать её на 125^{\circ}
). Если же она прошла позади часовой, то она должна преодолеть 2\cdot(180^{\circ}-125^{\circ})=110^{\circ}
.
Рассмотрим второй случай, так как тогда угол меньше. Затраченное время при этом равно \frac{110}{330}=\frac{1}{3}
часа, т. е. 20 минут.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, отборочный этап, задача 2, 10-11 класс