12384. Все углы шестиугольника ABCDEF
равны. Докажите, что
AB-DE=EF-BC=CD-FA.
Решение. Пусть прямые AB
и EF
пересекаются в точке X
, прямые AB
и CD
— в точке Y
, прямые CD
и EF
— в точке Z
. Треугольники AXF
, BYC
и DZE
равнобедренные, так как углы при их сторонах AF
, BC
и DE
равны как смежные с равными углами. Следовательно, равны также углы AXF
, BYC
и DZE
. Значит, треугольник XYZ
равносторонний, и все его углы равны 60^{\circ}
. Тогда треугольники AXF
, BYC
и DZE
тоже равносторонние. Следовательно,
XY=XZ~\Rightarrow~XA+AB+BY=XF+FE+EZ~\Rightarrow~
~\Rightarrow~XF+AB+BC=XF+FE+DE~\Rightarrow~
~\Rightarrow~AB+BC=EF+DE~\Rightarrow~AB-DE=EF-BC.
Третье равенство получается аналогичным образом.