12386. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота AH
. Пусть P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки H
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что \angle BQH=\angle CPH
.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок AH
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Вписанные в эту окружность углы PQA
и PHA
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle PQA=\angle PHA
. С другой стороны, \angle PHA=\angle HBA
, так как оба этих угла дополняют угол BAH
до прямого. Следовательно,
\angle PQA=\angle HBA=\angle CBP,
поэтому
\angle CQP+\angle CBP=(180^{\circ}-\angle PQA)+\angle CBP=
=(180^{\circ}-\angle CBP)+\angle CBP=180^{\circ},
значит, около четырёхугольника BPQC
можно описать окружность. Вписанные в эту углы BPC
и BQC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BPC=\angle BQC
. Следовательно,
\angle BQH=\angle BQC-\angle HQC=\angle BQC-90^{\circ}=
=\angle BPC-90^{\circ}=\angle BPC-\angle BPH=\angle CPH.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, заключительный этап, задача 3, 9-10 класс