12387. На сторонах AB
, AD
квадрата ABCD
выбраны точки X
и Y
, для которых AX=DY
. Прямые BC
и DX
пересекаются в точке P
, прямые CD
и BY
— в точке Q
. Докажите, что точки P
, Q
, и A
лежат на одной прямой.
Решение. Из подобия треугольников XAD
и XBP
получаем \frac{BP}{AD}=\frac{XB}{XA}
, а из подобия треугольников YAB
и YDQ
— \frac{AB}{DQ}=\frac{YA}{YD}
.
По условию YD=XA
и YA=XB
, поэтому \frac{BP}{AD}=\frac{AB}{DQ}
, что равносильно равенству \frac{BP}{AB}=\frac{AD}{DQ}
, а это означает подобие прямоугольных треугольников ABP
и QDA
. Следовательно,
\angle QAP=\angle QAD+\angle DAB+\angle BAP=\angle APB+90^{\circ}+\angle BAP=
=(\angle APB+\angle BAP)+90^{\circ}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}.
Что и требовалось.