12388. Пусть ABCDE
— выпуклый пятиугольник, в котором AB=AE=CD=1
, \angle ABC=\angle DEA=90^{\circ}
и BC+DE=1
. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE
.
Ответ. 1.
Решение. На продолжении стороны BC
за точку B
отложим отрезок BF=DE
. Тогда
CF=BC+BF=BC+DE=1.
Прямоугольные треугольники ABF
и AED
равны по двум катетам. Тогда площадь пятиугольника ABCDE
равна площади четырёхугольника AFCD
. Кроме того, AF=AD
, поэтому треугольник ACF
равен треугольнику ACD
по трём сторонам. Значит, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ACF
. Таким образом,
S_{ABCDE}=S_{AFCD}=2S_{\triangle ACF}=2\cdot\frac{1}{2}CF\cdot AB=2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=1.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, отборочный этап в Статграде, задача 3, 8-9 класс