12389. Отрезки KL
и MN
пересекаются в точке T
. Известно, что треугольник KNT
равносторонний и KL=MT
. Докажите, что треугольник LMN
равнобедренный.
Решение. Отложим на луче TM
отрезок TD=TL
. Поскольку
TD=TL\lt KL=TM,
точка D
лежит на отрезке TM
. Поскольку
\angle DTL=\angle NTK=60^{\circ}~\mbox{и}~DT=TL,
треугольник DTL
равносторонний. Тогда
LD=LT,~\angle LDM=\angle LTN=120^{\circ},
MD=MT-DT=KL-TL=KT=NT.
Значит, треугольники LDM
и LTN
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда LM=LN
, следовательно, треугольник MLN
равнобедренный.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2015-2016, финальный этап, задача 4, 7 класс