12391. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AL
треугольника ABC
пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Известно, что BD=45
, CE=20
. Найдите AB+AC
.
Ответ. 125.
Решение. Пусть M
— точка пересечения отрезков AL
и DE
. Точки D
и E
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AL
, поэтому M
— середина AL
. Отрезок DM
— высота и биссектриса треугольника DAE
, поэтому треугольник DAE
равнобедренный, а AM
— его медиана. Значит, M
— середина DE
. Диагонали AL
и DE
четырёхугольника ADLE
точкой пересечения M
делятся пополам, значит, это параллелограмм, а так как его диагонали перпендикулярны — это ромб.
Обозначим через x
стороны ромба ADLE
. Из подобия треугольников ELC
и ABC
получаем, что
\frac{EC}{EL}=\frac{AC}{AB},~\frac{20}{x}=\frac{20+x}{45+x},
откуда x=30
. Следовательно,
AB+AC=(x+45)+(x+20)=2x+65=60+65=125.