12394. Дан треугольник ABC
. Из точки P
внутри него опущены перпендикуляры PA'
, PB'
, PC'
на стороны BC
, CA
, AB
соответственно. Затем из точки P
опущены перпендикуляры PA''
, PB''
на прямые B'C'
и C'A'
соответственно. Докажите, что PA\cdot PA'\cdot PA''=PB\cdot PB'\cdot PB''
.
Решение. Поскольку углы PB'A
и PC'A''
прямые, четырёхугольник PB'AC'
вписан в окружность с диаметром PA
, значит, \angle PB'C'=\angle PAC'
. Тогда прямоугольные треугольники PB'A''
и PAC'
подобны, поэтому \frac{PB'}{PA}=\frac{PA''}{PC'}
. Это равносильно равенству PB'\cdot PC'=PA\cdot PA''
.
Домножив обе части на PA'
, получим равенство PA\cdot PA'\cdot PA''=PA'\cdot PB'\cdot PC'
. Аналогично доказывается, что PB\cdot PB'\cdot PB''=PA'\cdot PB'\cdot PC'
. Из этих двух равенств и следует равенство PA\cdot PA'\cdot PA''=PB\cdot PB'\cdot PB''
.