12397. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
провели серединные перпендикуляры к сторонам AB
, BC
и CD
. Внутри четырёхугольника эти перпендикуляры не пересеклись. Точки пересечения этих перпендикуляров разбили сторону AD
на четыре равные части. Докажите, что AD\parallel BC
.
Решение. Пусть EF
, GH
и KL
— указанные серединные перпендикуляры. Обозначим, AF=FH=HL=LD=m
. По свойствам серединных перпендикуляров HB=HC
, FB=FA=m
и LC=LD=m
. Тогда треугольники FBH
и LCH
равны по трём сторонам, поэтому равны и соответствующие высоты BB'
и CC'
этих треугольников. Значит, BB'C'C
— прямоугольник, и BC\parallel B'C'
. Отрезок B'C'
лежит на прямой AD
, следовательно BC\parallel AD
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2014-2015, заключительный этап, задача 3, 8 класс