12398. На медиане CM
треугольника ABC
выбрана точка D
, для которой CD=\frac{1}{2}AB
. Прямая BD
пересекает сторону AC
в точке E
. Докажите, что если DE=CE
, то \angle BMC=120^{\circ}
.
Решение. Опустим перпендикуляры AX
и BY
на прямую CM
. В равнобедренном треугольнике CDE
равны углы при основании CD
, и они равны углу BDY
. Прямоугольные треугольники AMX
и BMY
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
XM=MY=\frac{1}{2}XY,~AX=BY.
Прямоугольные треугольники CAX
и DBY
равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому DY=CX
, откуда
XY=CD=BM=MA.
В прямоугольном треугольнике AMX
катет MX
равен половине гипотенузы AM
, поэтому \angle XAM=30^{\circ}
, \angle XMA=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle BMC=180^{\circ}-\angle XMA=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2014-2015, заключительный этап, задача 4, 9-10 класс