12399. К боковой стороне AB
равнобокой трапеции ABCD
провели серединный перпендикуляр. Он пересёк отрезок BC
в точке E
. Найдите угол ABC
, если известно, что прямые AE
и CD
перпендикулярны.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Заметим, что BC
— большее основание трапеции. Пусть прямые CD
и AE
пересекаются в точке F
, а прямые CD
и AB
— в точке G
. Обозначим \angle ABC=\angle DCB=\alpha
. Тогда
\angle DAG=\angle GAD=\angle ABC=\alpha,~\angle ADG=\angle BCD=\alpha,
а так как точка E
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, то AE=AB
, поэтому треугольник ABE
равнобедренный. Следовательно,
\angle FAG=\angle EAB=\angle ABE=\angle ABC=\alpha.
Значит, \angle DAE=2\alpha
.
Треугольник AFD
прямоугольный, поэтому сумма его острых углов равна 90^{\circ}
, т. е.
2\alpha+\alpha=90^{\circ},
откуда \alpha=30^{\circ}
.