12413. Сторона BC
треугольника ABC
разбита точками M
и N
на три равные части (BM=MN=NC
); K
и L
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Прямая LM
пересекает прямую AB
в точке E
, прямая KN
пересекает прямую AC
в точке F
. Докажите, что прямая EF
параллельна прямой BC
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник AEC
. В нём EL
— медиана, которая делит отрезок BC
в отношении 2:1
. Докажем, что BC
— также медиана. Допустим, что это не так. Пусть медиана CK'
треугольника AEC
пересекает медиану EL
в точке M'
. Тогда CM':M'K'=2:1=CM:MB
, значит, MM'\parallel BK'
, т. е. EL\parallel AE
, что невозможно. Следовательно, B
— середина стороны AE
треугольника AEF
.
Аналогично доказывается, что точка C
— середина стороны AF
треугольника AEF
. Значит, BC
— средняя линия треугольника AEF
, следовательно, прямые BC
и EF
параллельны.
Второй способ. Отрезок KL
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому прямые KL\parallel BC
параллельны. Значит, треугольники KLF
и NCF
подобны. Коэффициент подобия равен
\frac{KL}{CN}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{3}BC}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~\frac{FL}{CL}=3.
Значит, точка F
втрое дальше от прямой KL
, чем точка C
. Аналогично доказывается, что точка E
втрое дальше от прямой KL
, чем точка B
, а так как точки B
и C
равноудалены от прямой KL
, то точки E
и F
также равноудалены от этой прямой, поэтому прямые EF
и KL
параллельны. Отсюда следует параллельность прямых BC
и EF
.