12415. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF
, в котором AB=CD=EF
, \angle A=\angle C=\angle E
и \angle B=\angle D=\angle F
. Докажите, что BC=DE=FA
.
Решение. Пусть продолжения сторон BC
и AF
пересекаются в точке K
, продолжения сторон BC
и DE
— в точке L
, продолжения сторон DE
и AF
— в точке M
. Из условия задачи следует, что треугольники ABK
, CDL
, EFM
равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, углы треугольника KLM
равны. Тогда он равносторонний. Отсюда и из равенства треугольников ABK
, CDL
, EFM
следует, что
KL=LM=MK,~KB=LD=MF,~CL=EM=AK.
Вычитая из первого равенства второе и третье, получаем, что BC=DE=FA
.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2001, задача 8, второй тур, 6-8 класс