12416. Могут ли длины сторон x
, y
и z
какого-нибудь треугольника удовлетворять неравенству
x^{3}+y^{3}+z^{3}+2xyz\geqslant x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)+z^{2}(x+y)?
Ответ. Не могут.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)\leqslant0.
Если бы x
, y
и z
были длинами сторон треугольника, то каждый множитель в левой части был бы положителен, что невозможно.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2001, задача 5, второй тур, 6-8 класс