12420. В треугольнике ABC
угол A
равен 15^{\circ}
, угол B
равен 60^{\circ}
. На сторонах AC
и AB
взяты соответственно точки M
и N
, для которых AM=BM
и MN=NC
. Найдите угол MNC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, поэтому BC\lt AB
. На луче отложим отрезок BN'=BC
. Тогда точка N'
лежит на отрезке AB
, и треугольник BCN'
равносторонний. Отложим от луча N'A
в полуплоскость, содержащую точку C
, луч N'M'
под углом 30^{\circ}
к лучу N'A
(точка M'
на AC
). Поскольку BN'C
и CM'N'
— внешние углы треугольников AN'C
и CN'M'
, получаем
\angle M'CN'=\angle ACN'=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ},~\angle CM'N'=15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ},
треугольник CM'N
равнобедренный, N'M'=CN'=BN'
, а \angle CN'M'=90^{\circ}
.
Отметим на стороне AB
точку L
, для которой M'L=LA
(L
— точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AM'
с прямой AB
). Тогда
\angle M'LN'=\angle LAM'+\angle LM'A=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}=\angle LN'M',
значит, N'M'=M'L
.
Таким образом,
BN'=N'M'=M'L=LA,
поэтому равнобедренные треугольники BN'M'
и ALM'
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, BM'=AM'
, и точка M'
совпадает с данной в условии точкой M
. Тогда из условия задачи следует, что точки N
и N'
тоже совпадают. Следовательно, \angle CNM=90^{\circ}
.