12423. Точки P
и Q
лежат на диагонали AC
квадрата ABCD
. Точки X
и Y
на сторонах CD
и AD
соответственно, причём, \angle BPX=\angle BQY=90^{\circ}
. Точка Z
— середина отрезка XY
. Найдите угол PZQ
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Опустим из точки P
перпендикуляры PK
и PL
на стороны BC
и CD
соответственно. Поскольку PKCL
— квадрат, то PK=PL
. Также
\angle BPK=90^{\circ}-\angle KPX=\angle XPL,
поэтому прямоугольные треугольники PKB
и PLX
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно,
LX=KB=BC-KC=CD-CL=LD.
Поскольку прямая PL
проходит через середину XD
и параллельна AD
, она содержит среднюю линию треугольника XDY
, а значит, проходит через середину отрезка XY
, т. е. через точку Z
. Аналогично, прямая QZ
параллельна CD
. Следовательно,
\angle PZQ=\angle PLC=90^{\circ}.
Автор: Доледенок А. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2021, XXVI, 7-8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2021, № 9, с. 47, задача 11