12429. Дан квадрат ABCD
. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, равен 1. Касательная к этой окружности, параллельная диагонали BD
, пересекает стороны BC
и CD
в точках M
и N
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MCN
.
Ответ. 2-\sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABC
и MCN
соответственно. Треугольник MCN
равнобедренный, поэтому вписанная в него окружность радиуса r
касается основания MN
в его середине K
. Заметим что O_{1}B
— диагональ квадрата со стороной 1,
O_{1}O=1,~O_{1}B=\sqrt{2},~OC=OB=1+\sqrt{2},~OK=1.
Аналогично,
O_{2}K=r,~O_{2}C=r\sqrt{2},~OC=OK+KO_{2}+O_{2}C=1+r+r\sqrt{2}.
Из уравнения
1+\sqrt{2}=1+r+r\sqrt{2}
находим, что r=2-\sqrt{2}
.