12430. В прямоугольный треугольник ABC
вписан прямоугольник CDEF
. При этом точки D
и F
лежат на катетах BC
и AC
соответственно, а точка E
— на гипотенузе. Известно, что BD=3
, а AF=4
. Найдите площадь прямоугольника CDEF
и стороны треугольника ABC
наименьшей площади, удовлетворяющего данному условию.
Ответ. S_{CDEF}=12
; AC=8
, BC=6
, AB=10
.
Решение. Обозначим DE=CF=x
, EF=CD=y
. Из подобия прямоугольных треугольников AFE
и EDB
получаем
\frac{AF}{EF}=\frac{DE}{BD},\mbox{или}~\frac{4}{y}=\frac{x}{3},
откуда xy=12
. Следовательно,
S_{CDEF}=DE\cdot CD=xy=12.
Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(4+x)(3+y)=\frac{1}{2}(12+3x+4y+xy)=
=\frac{1}{2}(12+3x+4y+12)=\frac{1}{2}(24+3x+4y)=12+\frac{1}{2}(3x+4y)\geqslant
\geqslant12+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3x\cdot4y}=12+\sqrt{12xy}=12+12=24,
причём равенство достигается, если 3x=4y=\frac{48}{x}
, т. е. для x=4
.
В этом случае F
и D
— середины катетов, следовательно,
AC=8,~BC=6,~AB=10,
а наименьшая площадь треугольника равна 24.