12431. Вершина K
прямоугольника KLMN
лежит на диаметре окружности, вершины L
, N
и середина стороны LM
лежат на окружности, а вершина M
— вне окружности. Известно, что LM=2KL
, а диаметр окружности равен 10. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ. \sqrt{10}
, 2\sqrt{10}
.
Решение. Обозначим через x
меньшую сторону прямоугольника. Пусть AB
— диаметр окружности, P
и Q
— середины сторон соответственно LM
и KN
прямоугольника KLMN
, C
— точка пересечения луча NK
с окружностью. Тогда KLPQ
и MNQP
— квадраты, а CLPN
— трапеция, вписанная в окружность. Она равнобедренная, поэтому
\angle LCN=\angle PNC=45^{\circ},~CK=KL=x.
Пусть O
— центр окружности. Центральный угол POC
вдвое больше соответствующего вписанного угла CNP
, значит,
\angle COP=2\angle PCN=90^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника CQP
получаем, что
CP=\sqrt{CQ^{2}+PQ^{2}}=\sqrt{x^{2}+4x^{2}}=x\sqrt{5},
а так как CP
— гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника COP
с боковыми сторонами OC=OP=5
, то CP=5\sqrt{2}
. Из уравнения x\sqrt{5}=5\sqrt{2}
находим, что x=\sqrt{10}
. Тогда LM=2x=2\sqrt{10}
.