12434. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Отрезки BE
и CD
пересекаются в точке O
. Известно, что площади треугольников BOD
, BOC
и COE
равны 2, 5 и 10 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника ADOE
.
Ответ. 88.
Решение. Диагонали BE
и CD
четырёхугольника BDEC
разбивают его на четыре треугольника. Произведения площадей противоположных треугольников равны (см. задачу 4191), т. е. S_{\triangle DOE}\cdot S_{\triangle BOC}=S_{\triangle BOD}\cdot S_{\triangle COE}
, откуда
S_{\triangle DOE}=\frac{S_{\triangle BOD}\cdot S_{\triangle COE}}{S_{\triangle BOC}}=\frac{2\cdot10}{5}=4.
Обозначим S_{\triangle DAE}=s
, AC=b
, AB=c
, AD=m
, AE=m
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}cn\sin\alpha=6+s,~S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}bm\sin\alpha=14+s.
Перемножив эти равенства, получим
\frac{1}{2}cn\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}bm\sin\alpha=(6+s)(14+s),
или
\frac{1}{2}mn\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}cb\sin\alpha=(6+s)(14+s),~\mbox{т. е.}~S_{\triangle DAE}\cdot S_{\triangle ABC}=(12+s)(20+s),
или
s(21+s)=(6+s)(14+s).
Из этого уравнения находим, что s=84
. Следовательно,
S_{ADOE}=S_{\triangle DAE}+S_{\triangle DOE}=84+4=88.