12435. Две окружности касаются внутренним образом в точке C
. Хорда AB
большей окружности касается меньшей окружности в точке L
. Отрезки AC
и BC
пересекают меньшую окружность в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Найдите площадь треугольника ABC
, если AL=7
, BL=5
, A_{1}B_{1}=9
.
Ответ. 24\sqrt{6}
.
Решение. На общей касательной к окружностям отметим точку D
, лежащую с точкой B
по одну сторону от прямой AC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BAC=\angle BCD=\angle B_{1}A_{1}C.
Значит, A_{1}B_{1}\parallel AB
, и треугольник A_{1}B_{1}C
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен
\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}B_{1}}{AL+BL}=\frac{9}{7+5}=\frac{3}{4}.
Положим A_{1}C=3t
, AC=4t
. Тогда AA_{1}=t
. По теореме о касательной и секущей AA_{1}\cdot AC=AL^{2}
, или 4t^{2}=49
, откуда t=\frac{7}{2}
. Значит, AC=4t=14
. Аналогично находим, что BC=10
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=\frac{10+14+12}{2}=18.
По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-12)(p-14)}=\sqrt{18\cdot8\cdot6\cdot4}=\sqrt{36\cdot16\cdot6}=24\sqrt{6}.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2016, LXVI, третий этап, второй день, задача 6, 11 класс