12437. Диагонали AC
и BD
вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
. Известно, что AM:MC=2:3
, AC:BD=2:\sqrt{3}
, \angle BAC=\angle DAC
. Найдите все возможные значения угла BAD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть AM=3x
и CM=x
. Тогда AC=4x
и BD=2x\sqrt{3}
. Обозначим \angle BAC=\angle DAC=\alpha
. Вписанные углы CBD
и CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBD=\angle CAD=\angle BAC=\alpha.
Значит, треугольники ACB
и BCM
подобны по двум углам (угол при вершине C
— общий). Тогда
\frac{BC}{CM}=\frac{AC}{BC},~\mbox{или}~BC^{2}=AC\cdot BC=4x^{2},
откуда BC=2x
, а так как равные вписанные углы опираются на равные дуги, то CD=BC=2x
.
Пусть CH
— высота, а значит, и медиана равнобедренного треугольника BCD
. Тогда
\cos\alpha=\frac{BH}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BD}{BC}=\frac{x\sqrt{3}}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2},
значит, \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=2\alpha=60^{\circ}.