12438. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна \sqrt{3}
, в разность острых углов равна 30^{\circ}
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 2
, 2\sqrt{3}
, 4
.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB
, а \angle BAC=\alpha
— наибольший острый угол треугольника ABC
. Тогда \angle ABC=\alpha-90^{\circ}
. По условию
\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=30^{\circ},
откуда \alpha=60^{\circ}
. Тогда \angle ABC=30^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что BC=2CH=2\sqrt{3}
. Тогда
AC=\frac{BC}{\sqrt{3}}=2,~AB=2BC=4.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2016, LXVI, третий этап, второй день, задача 7, 8 класс