12439. В треугольнике ABC
угол при вершине B
равен 65^{\circ}
. Продолжение высоты, проведённой из вершины A
, пересекает описанную около треугольника ABC
окружность в точке A_{1}
. Продолжение биссектрисы, проведённой из вершины C
, пересекает эту же окружность в точке C_{1}
. Укажите все возможные значения величины угла ACB
, если AA_{1}=CC_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
или 80^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Из равенства хорд AA_{1}
и CC_{1}
следует, что стягиваемые ими дуги равны, т. е. либо \smile ABA_{1}=\smile CBC_{1}
, либо \smile ABA_{1}=\smile CAC_{1}
.
1) Пусть \smile ABA_{1}=\smile CBC_{1}
. Тогда \smile AC_{1}=\smile CA_{1}
, поэтому
\angle CAA_{1}=\angle ACC_{1}=\frac{\gamma}{2}.
В прямоугольном треугольнике AHC
сумма острых углов равна 90^{\circ}
, т. е.
\frac{\gamma}{2}+\gamma=90^{\circ},
откуда \gamma=60^{\circ}
.
2) Пусть \smile ABA_{1}=\smile CAC_{1}
. Тогда дуга AC
, не содержащая точки B
, равна дуге A_{1}BC_{1}
, т. е. 130^{\circ}
. Значит,
130^{\circ}=\smile A_{1}BC_{1}=2\angle BAA_{1}+2\angle BCC_{1}=2(\angle BAH+\angle BCC_{1})=
=2(90^{\circ}-\angle ABC+\angle BCC_{1})=2\left(90^{\circ}-65^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)=50^{\circ}+\gamma.
Из уравнения
130^{\circ}=50^{\circ}+\gamma
находим, что \gamma=80^{\circ}
.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2016, LXVI, третий этап, первый день, задача 3, 11 класс