12441. Точка N
— середина стороны BC
треугольника ABC
. На стороне AC
этого треугольника отмечена точка K
, для которой \angle BAC=2\angle NKC
. Докажите, что KC=BA+AK
.
Решение. Обозначим \angle CKN=\alpha
. Тогда \angle BAC=2\alpha
. На продолжении стороны AC
за точку A
отложим отрезок AD=AB
. Поскольку BAC
— внешний угол равнобедренного треугольника BAD
, то
\angle ADB=\frac{1}{2}\angle BAC=\alpha=\angle CKN.
Значит, KN\parallel DB
, а так как N
— середина стороны BC
треугольника BSD
, то по теореме Фалеса K
— середина CD
. Следовательно,
KC=DK=DA+AK=BA+AK.
Что и требовалось доказать.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2016, LXVI, третий этап, первый день, задача 3, 8 класс