12442. В треугольнике ABC
известно, что \angle ABC=80^{\circ}
. Точка D
лежит на стороне BC
, причём \angle ADB=70^{\circ}
и AC=AB+BD
. Найдите \angle ACB
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BE=BD
. Тогда
AE=AB+BE=AB+BD=AC.
Треугольник DBE
равнобедренный, ABD
— его внешний угол при вершине, поэтому
\angle AED=\angle BED=\angle BDE=\frac{1}{2}\angle DBE=40^{\circ}.
Кроме того,
\angle ADE=\angle ADB+\angle BDE=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}=\angle ADC.
Стороны AE
и AD
треугольника ADE
соответственно равны сторонам AC
и AD
треугольника ADC
, а угол ADE
первого треугольника равен углу ADC
второго. Значит (см. задачу 10280), либо \angle ACD=\angle AED
, либо
\angle ACD=180^{\circ}-\angle AED=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}.
Второй случай невозможен, так как тогда в треугольнике ADC
будут два тупых угла. Следовательно,
\angle ACB=\angle ACD=\angle AED=40^{\circ}.
Второй способ. На продолжении стороны BC
за точку B
отложим отрезок BN=AB
. Тогда
ND=NB+BD=AB+BD=AC.
Треугольник ABN
равнобедренный, ABD
— его внешний угол при вершине, поэтому
\angle ANB=\angle BAN=\frac{1}{2}\angle ABD=40^{\circ}.
Поскольку
\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABD-\angle ADB=180^{\circ}-80^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ},
то
\angle DAN=\angle BAD+\angle BAN=30^{\circ}+40^{\circ}=70^{\circ}=\angle ADN.
Значит, треугольник AND
равнобедренный, AN=ND=AC
. Тогда треугольник CAN
тоже равнобедренный. Следовательно,
\angle ACB=\angle ACN=\angle ANB=40^{\circ}.