1245. В трапеции ABCD
диагональ AC
перпендикулярна боковой стороне CD
, а диагональ DB
перпендикулярна боковой стороне AB
. Продолжения боковых сторон AB
и DC
пересекаются в точке K
, образуя треугольник AKD
с углом 45^{\circ}
при вершине K
. Площадь трапеции ABCD
равна P
. Найдите площадь треугольника AKD
.
Ответ. 2P
.
Указание. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей трапеции. Обозначим AC=x
, BD=y
. Тогда KB=BD=y
и KC=AC=x
(поскольку треугольники DBK
и ACK
прямоугольные и равнобедренные).
S_{\triangle BKC}=\frac{1}{2}BK\cdot CK\sin45^{\circ}=\frac{1}{2}yx\sin45^{\circ},
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\angle BMA=\frac{1}{2}xy\sin45^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle BKC}=S_{ABCD}=P,~S_{\triangle AKD}=S_{\triangle BKC}+S_{ABCD}=2P.
Второй способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей трапеции. Поскольку \angle ACD=\angle ABD
, то около трапеции ABCD
можно описать окружность. Поэтому трапеция ABCD
— равнобедренная.
Коэффициент подобия треугольников AKD
и BKC
равен
\frac{AD}{BC}=\frac{AM}{MC}=\frac{AM}{MB}=\frac{1}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}.
Поэтому
S_{\triangle AKD}=2S_{\triangle BKC}.
Следовательно,
S_{\triangle AKD}=2S_{ABCD}=2P.
