12455. Дан параллелограмм ABCD
. Некоторая окружность проходит через точки A
и B
и пересекает отрезки BD
и AC
во второй раз соответственно в точках X
и Y
, а описанная окружность треугольника AXD
пересекает отрезок AC
во второй раз в точке Z
. Докажите, что отрезки AY
и CZ
равны.
Решение. Докажем равенство треугольников ABY
и CDZ
.
Вписанные в первую окружность углы AYB
и AXB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Аналогично, равны вписанные во вторую окружность углы AXD
и AZD
. Значит,
\angle CZD=180^{\circ}-\angle AZD=180^{\circ}-\angle AXD=\angle AXB=\angle AYB.
Из параллельности AB
и CD
следует, что \angle DCZ=\angle BAY
, а так как сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, то \angle CDZ=\angle ABY
. Тогда треугольники ABY
и CDZ
равны по стороне (AB=CD
) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, CZ=AY
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2018, задача 1, 9 класс