12457. Дан треугольник с углами \angle A=40^{\circ}
и \angle B=80^{\circ}
. На отрезке AB
взяты точки K
и L
(точка K
лежит между точками A
и L
), причём AK=BL
и \angle KCL=30^{\circ}
. Найдите угол LCB
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Докажем, что пара точек K
и L
, удовлетворяющая условию, ровно одна. Допустим, что это не так, т. е. существует ещё пара точек K'
и L'
на стороне AB
, для которых AK'=BL'
. Тогда, очевидно, что отрезок K'L'
лежит полностью внутри отрезка KL
или отрезок KL
— полностью внутри отрезка K'L'
. Соответственно либо угол K'CL'
меньше 30^{\circ}
, либо больше. Значит, такая пара только одна.
Возьмём \angle ACK=10^{\circ}
. Тогда
\angle LCB=\angle ACB-\angle ACK-\angle KCL=60^{\circ}-10^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ},
\angle BLC=180^{\circ}-20^{\circ}-80^{\circ}=80^{\circ}=\angle CBL,
\angle BCK=\angle CAK+\angle ACK=40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}=\angle BCK,
\angle ACL=10^{\circ}+30^{\circ}=40^{\circ}=\angle CAL.
Значит, треугольники BCK
, CBK
и ALC
равнобедренные,
AL=LC=BC=BK,
откуда
AK=AL-KL=BK-KL=BL.
Других таких пар точек K
и L
больше нет, следовательно, \angle LCB=20^{\circ}
.