12458. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. На отрезке HC_{1}
, где CC_{1}
— высота треугольника ABC
, отмечена точка K
. Точки L
и M
— основания перпендикуляров, опущенных из точки K
на прямые AC
и BC
соответственно. Прямые BL
и AM
пересекаются в точке N
. Докажите, что \angle ANK=\angle HNL
.
Решение. Пусть AC\gt BC
, AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Поскольку KM\parallel HA_{1}
и KL\parallel HB_{1}
,
\frac{CA_{1}}{A_{1}M}=\frac{CH}{HK}=\frac{CB_{1}}{B_{1}L}.
Значит, A_{1}B_{1}\parallel ML
. Тогда \angle CML=\angle CA_{1}B_{1}
.
Четырёхугольник AB_{1}A_{1}B
вписан в окружность с диаметром AB
, поэтому
\angle CML=\angle CA_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle BA_{1}B_{1}=\angle BAB_{1}=\angle BAL.
Значит, и четырёхугольник ALMB
тоже вписанный. Тогда
\angle MAH=\angle MAL-\angle A_{1}AC=\angle MBL-\angle MBB_{1}=\angle LBH.
Следовательно,
\angle NMK=\angle MAH=\angle NBH.
Из вписанности четырёхугольника ALMB
следует подобие треугольников ANB
и LNM
. Четырёхугольник CLKM
вписан в окружность с диаметром CK
, поэтому
\angle ABH=\angle ACH=\angle LMK~\mbox{и}~\angle BAH=\angle BCH=\angle MLK.
Значит, треугольник ABH
подобен треугольнику LMK
по двум углам. Из этих двух подобий получаем
\frac{KM}{HB}=\frac{LM}{AB}=\frac{MN}{BN},
откуда \frac{KM}{MN}=\frac{HB}{BN}
, а так как по ранее доказанному
\angle NBH=\angle LBH=\angle NMK,
то треугольники KMN
и HBN
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle ANK=\angle HNL
. Следовательно, углы ANK
и HNL
равны, так как как это внешние углы при соответствующих вершинах в подобных треугольниках.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2019