1246. В трапеции ABCD
диагональ AC
перпендикулярна боковой стороне CD
, а диагональ DB
перпендикулярна боковой стороне AB
. На продолжениях боковых сторон AB
и DC
за меньшее основание BC
отложены отрезки BM
и CN
так, что получается новая трапеция BMNC
, подобная трапеции ABCD
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если площадь трапеции AMND
равна P
, а сумма углов CAD
и BDA
равна 60^{\circ}
.
Ответ. \frac{4}{5}P
.
Указание. Докажите, что трапеция ABCD
— равнобедренная.
Решение. Пусть K
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Поскольку \angle ACD=\angle ABD
, то около трапеции ABCD
можно описать окружность. Поэтому трапеция ABCD
— равнобедренная, \angle CAD=\angle BDA=30^{\circ}
.
Коэффициент подобия трапеций ABCD
и BMNC
равен
\frac{AD}{BC}=\frac{AK}{KC}=\frac{AK}{KB}=\frac{1}{\cos\angle AKB}=\frac{1}{\cos60^{\circ}}=2.
Поэтому S_{ABCD}=4S_{BMNC}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{4}{5}S_{AMND}=\frac{4}{5}P.