12462. На сторонах треугольника ABC
во внешнюю сторону построены прямоугольники ABLK
, BCNM
и CAQP
, имеющие равные площади. Пусть X
, Y
и Z
— середины отрезков KQ
, LM
и NP
соответственно. Докажите, что прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в точке O
— центре окружности, описанной около треугольника ABC
.
Пусть D
— точка пересечения прямых CP
и BL
. Тогда \angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}
, поэтому точки B
и C
лежат на окружности с диаметром AD
. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и AC
треугольника ABC
содержат средние линии прямоугольных треугольников ABD
и ACD
, значит, точка O
лежит на отрезке AD
.
Пусть X_{1}
— точка пересечения прямой AD
с отрезком KQ
. Поскольку \angle CAD=\angle CBD
и
\angle CAD+\angle QAX_{1}=\angle CBD+\angle ABC,
то QAX_{1}=\angle ABC
. Аналогично, KAX_{1}=\angle ACB
.
Пусть площадь каждого из трёх прямоугольников равна S
. Тогда, если q
и k
— расстояния от точек соответственно Q
и K
до прямой AD
, то
\frac{QX_{1}}{KX_{1}}=\frac{q}{k}=\frac{AQ}{AK}\cdot\frac{\sin\angle QAX_{1}}{\sin\angle KAX_{1}}=\frac{\frac{S}{AC}}{\frac{S}{AB}}\cdot\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle ACB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AB}=1.
Значит, точка X_{1}
— середина отрезка KQ
, т. е. X_{1}
совпадает с точкой X
. Следовательно, прямая AX
проходит через точку O
. Аналогично для прямых BY
и CZ
.