12466. Неравнобедренный треугольник ABC
вписан в окружность \omega
с центром O
. Продолжение биссектрисы CN
пересекает \omega
в точке M
. Пусть MK
— высота треугольника BCM
, P
— середина отрезка CM
, а Q
— точка пересечения прямых OP
и AB
. Пусть прямая MQ
во второй раз пересекает окружность \omega
в точке R
, а T
— точка пересечения прямых BR
и MK
. Докажите, что NT\parallel PK
.
Решение. Рассмотрим случай, когда AC\gt BC
. Остальные случаи разбираются аналогично.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ACB=\gamma
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle MOP=\angle ANM=\angle ACN+\angle CAN=\angle ACN+\angle CAB=\alpha+\frac{\gamma}{2},
\angle MBK=\angle BMC+\angle MCB=\angle BAC+\angle MCB=\alpha+\frac{\gamma}{2}=\angle MOP.
Значит, прямоугольные треугольники MOP
и MBK
подобны.
Заметим, что N
— точка пересечения высот треугольника OMQ
, поэтому
\angle PON=\angle NMQ=\angle CMR=\angle CBR=\angle TBK.
Значит, ON
и BT
— соответствующие линейные элементы в подобных треугольниках MOP
и MBK
, поэтому \frac{MN}{NP}=\frac{MT}{TK}
. Следовательно, NT\parallel PK
.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2017, задача 4, 9 класс