12468. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
на катетах AC
и BC
взяты соответственно точки K
и L
. Пусть также KLM
— равнобедренный прямоугольный треугольник, а O
— середина его гипотенузы KM
. Докажите, что точка O
лежит на биссектрисе внутреннего или внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
.
Решение. Отрезок LO
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника KLM
. Тогда отрезок KL
виден из точек O
и C
под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром KL
.
Пусть точки O
и C
лежат по одну сторону от прямой KL
. Тогда вписанные в эту окружность углы OCL
и OKL
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle OCL=\angle OKL=45^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ACB.
Следовательно, луч CO
— биссектриса угла ACB
.
Если же точки O
и C
лежат по разные стороны от прямой KL
, то аналогично, CO
— биссектриса угла, смежного с углом ACB
.
Примечание. Условие задачи немного отличается от оригинального.